Демографические модели

I. Модели для прогнозирования численности населения


Демографические модели, применяемые для прогнозирования численности населения, можно разделить на две группы: учитывающие и не учитывающие половозрастное распределение населения.


При построении моделей, не учитывающих половозрастную структуру населения, основным предположением, использующимся при выводе уравнений, является гипотеза о зависимости темпов роста численности от самой численности населения. В этом случае мы получаем модель экспоненциального роста. В модели гиперболического роста темп роста численности пропорционален квадрату численности. Данное предположение было сделано на основе анализа временного ряда численности населения Земли. Если предположить, что темп роста численности населения замедляется с ростом численности населения, получаем логистическое уравнение.


Модели, не учитывающие половозрастное распределение.


Эта группа включает:


01.png

Более корректным представляется логистическое уравнение, поскольку при широком наборе параметров его решение ограничено, что интуитивно кажется правдоподобным.


Задумаемся, как могла изменяться численность населения в течение предыдущих веков. Высокая смертность, особенно в детских возрастах, и сильные сокращения численности населения в период вспышек эпидемий, войн и т.д., приводили к сильным сокращениям численности населения. Так, например, в период эпидемии чумы численность населения Европы сокращалась на 30 процентов и более. Поэтому, для восстановления численности или предотвращения депопуляции был необходим высокий уровень рождаемости.


Допустим, что численность населения можно моделировать при помощи уравнения экспоненциального роста, предположив, что в некоторые моменты времени возникают резкие сокращения численности. Данное явление моделируется введением дополнительной функции, приводящей уравнение экспоненциального роста к следующему виду:


02.png

Решение данного уравнения, полученное при следующих параметрах (a=0.015, t=40,80,….,k-линейная функция обращающаяся в ноль при максимальном t. K(0)=0,58. Начальная численность равна 0.5), представлено на рис. 1.


Если предположить, что размерность результатов, приведенных на рис.1 в млрд., то полученная зависимость является хорошим приближением динамики численности населения Земли.


Изменение численности населения Земли (млрд. чел.)


03.png

В прошлом веке темпы роста населения были выше. Если в начале 20–го века численность населения Земли составляла около 1.5 млрд. чел., то в конце века эта величина превысила 6 млрд.чел. Это может объясняться сохранением традиционно высокого уровня рождаемости, требуемого ранее для восстановления численности, при существенном снижении уровня смертности. Смертность снизилась в результате развития медицины, открытия пенициллина и т.д. В модели это регулируется функцией k(t), значения которой уменьшаются со временем. На рис.1 приведен модельный пример показывающий, что динамика численности может быть описана подобным уравнением. Предположение о пропорциональности между темпом роста численности и самой численностью, также должно учитывать, что доля населения в фертильном возрасте сокращается, в силу роста продолжительности жизни. Поэтому вполне естественно снижение наблюдаемых темпов роста. Если предположить, что коэффициент a зависит от времени, то наблюдаемое перераспределение численности населения может объяснить снижение темпов его роста.


Можно привести много аналогий наблюдаемого демографического (динамического) перехода. Представим, что началу демографического перехода способствовало резкое увеличение численности населения за счет снижения смертности. В природе существует множество аналогичных примеров. Рассмотрим, например, движение тела в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости тела. В этом случае мы получаем уравнение, решение которого имеет асимптотический вид. Аналогично росту численности населения, скорость тела в первые моменты времени резко увеличивается, что вызывает заметный рост сил сопротивления. В результате скорость движения стабилизируется.


Другим примером служит ударная волна, в которой практически отсутствует переход между областью высокого и низкого давления.


Модели, учитывающие половозрастное распределение.


При всей простоте рассмотренных выше уравнений, они обладают существенным недостатком. В них невозможно учесть половозрастное распределение численности населения. Поэтому для изучения влияния половозрастного профиля рассмотрим следующие уравнение:


04.png

В качестве граничных условий задается число новорожденных, определенное согласно функции рождаемости, зависящей от возраста матери и времени.


05.png

Разностный аналог данного уравнения имеет следующий вид:


06.gif

Число новорожденных мальчиков и девочек рассчитывается по формулам:


07.png

Коэффициенты 0,515 и 0,485 – выбраны исходя из соотношения между родившимися мальчиками и девочками.


Ниже приводятся численные результаты, полученные при помощи данной модели. Миграция в расчетах не учитывалась.


Допустим, что начальное распределение численности напоминает треугольник (см. рис. 2).


Модельное половозрастное распределение численности населения в начальный момент времени


08.png

Уровень рождаемости и ожидаемая продолжительность жизни изменяются, как показано на графиках (см. рис. 3


Зависимости продолжительности жизни и уровня рождаемости в зависимости от времени


09.png

Начальный уровень рождаемости выбран таким образом, чтобы не было разрыва в числе новорожденных в течение первых лет расчета.


Если рассчитать значение коэффициента отношения численности всего населения к численности населения в возрасте от 20 до 59 лет включительно в течение времени, то получим следующую зависимость, приведенную на рис.4.


Результат моделирования


10.png

Половозрастная структура при этом будет сильно трансформироваться с течением времени (см.рис.5).


Трансформация половозрастных структур с течением времени


11.png
12.png
13.png

II. Использование показателей динамики коэффициента смертности в демографических исследованиях


Интуитивно понятно, что на результат моделирования основное влияние оказывают коэффициенты, используемые в приведенных выше уравнениях. Как видно выше данные коэффициенты, определенные для каждого пола, зависят не только от времени, но и от возраста и могут широко варьироваться. Поэтому определение функций, описывающих смертность и рождаемость, является важной задачей.


Рассмотрим способ, позволяющий оценить изменение уровня смертности в течение времени в каждом возрасте. Для этого сопоставим вероятности смерти в каждом возрасте в течение заданного промежутка времени.


Вероятность умереть в возрасте (а) в год (t) получим как:


14.png

Изменение вероятности смертности за год определим следующим образом:


15.gif

Далее, проецируя полученное значение, выраженное в процентах, на плоскость время-возраст, получаем поле смертности для определенного пола. Вертикальная шкала - это проценты изменения вероятности смерти. Черный цвет соответствует росту вероятности смерти, белый – снижению. Цвет фона распространяется на ежегодные процентные колебания смертности в диапазоне +/- 5%, что соответствует среднему значению положительных и отрицательных значений процентных изменений вероятностей смерти.


На рис. 6 такое поле смертности приведено для российских женщин в течение 1960-2006гг.[3]. По вертикальной оси отложен возраст, по горизонтальной – время, треугольниками отмечена линия ожидаемой продолжительность жизни с момента рождения.


Поле ежегодных изменений вероятностей смерти


16.png

Подобное представление данных позволяет оценить изменение коэффициентов смертности в течение времени и выделить возрастные группы, наиболее сильно подверженные данным изменениям.


Просматриваемая зависимость между историческими событиями позволяет заключить о сохранении истории в новом цифровом формате, носителем которого и являются таблицы смертности.


Анализ когортной смертности


При анализе ежегодных изменений смертности были обнаружены отдельные возрастные когорты, смертность в которых отличалась в ближайших когортах. Этот эффект проявился в виде наклонных линий, появившихся на поле изолиний, построенных для относительного изменения уровня смертности. Относительные изменения уровня смертности были выбраны, чтобы избежать влияние среднего, или фонового значения уровня смертности, поскольку на фоновое значение сильное влияние оказывает тренд, связанный со снижением уровня смерти.


Поэтому для выявления когртных аномалий смертности были рассчитаны средние значения смертности для нескольких соседних возрастов во всем временном и возрастном интервале.


Формулы для расчета средних значений смертности имеют вид:


17.png

Япония, мужчины


18.gif

Россия, мужчины


19.gif

Франция, мужчины


20.gif

Франция, женщины


21.gif

Франция, мужчины


22.gif

Литература:


С.П. Капица “Гиперболический путь человечества. через демографическую революцию к обществам знаний”. Москва, Издательский Дом Тончу 2009. 125 стр. тираж 1000


А.В. Коротаев, А.С. Малков, Д.А. Халтурина. “Законы истории: Математическое моделирование развития мир-система. Демография, экономика, культура. Москва, URSS, 2007”


C.А. Тимофеев, Д.В. Помазкин "К вопросу о существовании демографической константы" http://www.infoarchives.ru/data/demog_const.pdf


C.А. Тимофеев, Д.В. Помазкин "Проблема 25" http://www.infoarchives.ru/data/Problem_25.pdf